Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的定義域為R，它的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)x=-1時，函數(shù)取極值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB．

Answer 1

分析：（1）通過圖象關(guān)于原點對稱求出b的值，再根據(jù)當(dāng)x=-1時，函數(shù)取極值1，建立兩個方程組，解之即可；
（2）由過A、B兩點的切線都垂直于直線AB可知兩切線平行，根據(jù)切線與AB垂直建立等量關(guān)系，驗證判別式是否大于零即可．

解答：解：（1）由已知，f（-x）=-f（x），即bx²=0恒成立，
故b=0．所以f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
由

f′(-1)=0 f(-1)=1

得

3a+c=0 -a-c=1

，
解得a=

1

2

，c=-

3

2

．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
由f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，過A、B兩點的切線平行，故f′（x₁）=f′（x₂），
得：x₁²=x₂²．由于x₁≠x₂，所以x₁=-x₂，
于是y₁=-y₂，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

．因為過A點的切線垂直于直線AB，
所以(

3

2

x12-

3

2

)(

1

2

x12-

3

2

)=-1?3x14-12x12+13=0，△=-12＜0，方程無解．
因此，不存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于直線AB．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．