已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的定義域為R,它的圖象關(guān)于原點對稱,且當(dāng)x=-1時,函數(shù)取極值1.
(1)求a,b,c的值;
(2)求證:曲線y=f(x)上不存在兩個不同的點A、B,使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB.
分析:(1)通過圖象關(guān)于原點對稱求出b的值,再根據(jù)當(dāng)x=-1時,函數(shù)取極值1,建立兩個方程組,解之即可;
(2)由過A、B兩點的切線都垂直于直線AB可知兩切線平行,根據(jù)切線與AB垂直建立等量關(guān)系,驗證判別式是否大于零即可.
解答:解:(1)由已知,f(-x)=-f(x),即bx2=0恒成立,
故b=0.所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
f(-1)=0
f(-1)=1
3a+c=0
-a-c=1

解得a=
1
2
,c=-
3
2

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
f(x)=
3
2
x2-
3
2
,過A、B兩點的切線平行,故f′(x1)=f′(x2),
得:x12=x22.由于x1≠x2,所以x1=-x2
于是y1=-y2,kAB=
y2-y1
x2-x1
=
y1
x1
=
1
2
x12-
3
2
.因為過A點的切線垂直于直線AB,
所以(
3
2
x12-
3
2
)(
1
2
x12-
3
2
)=-1?3x14-12x12+13=0
,△=-12<0,方程無解.
因此,不存在兩個不同的點A、B,使過A、B的切線都垂直于直線AB.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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