Question

13．若實數(shù)a，b滿足$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2≥0}\\{b-a-1≤0}\\{a≤1}\end{array}\right.$，則$\frac{a+2b}{2a+b}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，化簡$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{a}+2}$，從而可知$\frac{a}$是過原點與陰影內(nèi)的點的直線的斜率的倒數(shù)，從而解得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
，
$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{a}+2}$，
$\frac{a}$是過原點與陰影內(nèi)的點的直線的斜率的倒數(shù)，
故當(dāng)過點A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）時，k_OA=$\frac{\frac{3}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}$=3，
故此時$\frac{a}$有最小值$\frac{1}{3}$，
此時$\frac{a+2b}{2a+b}$有最大值$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4•\frac{1}{3}+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{10}$=$\frac{7}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用及直線的斜率的應(yīng)用，同時考查了化簡運算．