Question

2．若f（x）是冪函數(shù)且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，2），g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+g（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α（α為常數(shù)）．把點(diǎn)（2，2）代入可得：2=2^α，解得α即可得出．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．x∈（$\sqrt{2}$，+∞）．h′（x）=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{{x}^{2}}$，可知：h（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α（α為常數(shù)）．
把點(diǎn)（2，2）代入可得：2=2^α，解得α=1，
∴f（x）=x．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．x∈（$\sqrt{2}$，+∞）．
h′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{{x}^{2}}$，
可知：h（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
已知h（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴0＜a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤2．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的解析式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．