【題目】古希臘畢達哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”,人們把多邊形數(shù)推廣到空間,研究了“四面體數(shù)”,下圖是第一至第四個四面體數(shù),(已知)
觀察上圖,由此得出第5個四面體數(shù)為______(用數(shù)字作答);第個四面體數(shù)為______.
【答案】35
【解析】
通過觀察圖形,先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律,即為找到如1,4,10,20,……的數(shù)列的第項,通過觀察發(fā)現(xiàn),相鄰的數(shù)字差分別是3,6,10,……,即第項應(yīng)為,那么就把問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和,為1,3,6,10,……,根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn),, ,……, ,利用累加法可以得到,再利用題目所給已知,求出前項和,即為第個四面體數(shù),當(dāng)時,即為第5個四面體數(shù).
由題,
第一個四面體數(shù)為1;
第二個四面體數(shù)為;
第三個四面體數(shù)為;
第四個四面體數(shù)為
……
由此可歸納,第個四面體數(shù)為
即為
設(shè)該式中的每個數(shù)從左至右的排列為數(shù)列,即為:1,3,6,10,……
得到遞推關(guān)系為,,…,,相加后得
,故數(shù)列的和
當(dāng)時,
故答案為:35;
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,再將所得圖象的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,得到的函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù),且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:時,.
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【題目】關(guān)于函數(shù),有下列四個命題:①的值域是;②是奇函數(shù);③在上單調(diào)遞增;④方程總有四個不同的解;其中正確的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【題目】紙是生活中最常用的紙規(guī)格.系列的紙張規(guī)格特色在于:①、、、…、,所有尺寸的紙張長寬比都相同.②在系列紙中,前一個序號的紙張以兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后,可以得到兩張后面序號大小的紙,比如1張紙對裁后可以的到2張紙,1張紙對裁可以得到2張紙,以此類推.這是因為系列的紙張長寬比為這一特殊比例,所以具備這種特性.已知紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米().那么紙的長度為( )
A.14.8厘米B.21厘米C.25.1厘米D.29.7厘米
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【題目】某企業(yè)準備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè),但在簽約前要對他們的某項專業(yè)技能進行測試.在待測試的某一個小組中有男、女生共10人(其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)),如果從中隨機選2人參加測試,其中恰為一男一女的概率為;(Ⅰ)求該小組中女生的人數(shù);(Ⅱ)假設(shè)此項專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言,每個女生通過的概率均為,每個男生通過的概率均為;現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試,記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,長半軸長與短半軸長的比值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點,.若點在以線段為直徑的圓上,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,為的中點,是與的交點,將沿翻折到圖中的位置,得到四棱錐.
(1)求證:;
(2)當(dāng),時,求到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上存在最大值0,求函數(shù)在上的最大值;
(3)求證:當(dāng)時,.
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