【題目】如圖,在直三棱柱中, AB=1,∠ABC=.

(1 )證明:

2)求二面角A——B的正切值.

【答案】解:方法一

2)如圖所示,作,連,由三垂線定理可得

為所求二面角的平面角,

中,……8

中,

,…………10

所以………………11

即 二面角AB的余弦值是。………………………12

………………11

所以 二面角所成角的余弦值是………………………12

【解析】

試題(1)欲證AB⊥A1C,而A1C平面ACC1A1,可先證AB⊥平面ACC1A1,根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱,可知AB⊥AA1,由正弦定理得AB⊥AC,滿足線面垂直的判定定理所需條件;

2)作AD⊥A1CA1CD點(diǎn),連接BD,由三垂線定理知BD⊥A1C,則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角,在Rt△BAD中,求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可.

1)證明:三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱,∴AB⊥AA1,

△ABC中,AB=1,AC=,∠ABC=60°,由正弦定理得∠ACB=30°,

∴∠BAC=90°,即AB⊥AC,

∴AB⊥平面ACC1A1

A1C平面ACC1A1,

∴AB⊥A1C

2)解:如圖,作AD⊥A1CA1CD點(diǎn),連接BD,

由三垂線定理知BD⊥A1C,

∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角.

Rt△AA1C中,AD==

Rt△BAD中,tan∠ADB==

∴cos∠ADB=,

即二面角A﹣A1C﹣B的大小為arccos

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分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

2

5

9

10

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

14

10

6

4

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

2

4

8

16

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

15

6

6

3

以抽樣所得樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體
(1)比較甲、乙兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)的高低;
(2)若規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分為優(yōu)秀,從甲、乙兩校全體高三學(xué)生中各隨機(jī)抽取2人,其中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的共X人,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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