Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且

cosB

cosC

=

b

2a-c

．
（1）求角B的大�。�
（2）△ABC的外接圓半徑是

1

2

，求三角形周長的范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式右邊利用正弦定理化簡，整理后求出cosB的值，即可確定出B的度數；
（2）利用正弦定理化簡a+b+c，將B度數及表示出的C代入，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出周長的范圍．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：

cosB

cosC

=

b

2a-c

=

sinB

2sinA-sinC

，
整理得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
則B=

π

3

；
（2）∵△ABC外接圓半徑R=

1

2

，
∴由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=

3

2

+sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

+

3

sin（A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則三角形周長范圍為（

3

，

3 3

2

]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．