Question

【題目】在四棱錐中，平面平面， 底面為梯形, ，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若是棱的中點(diǎn)，求證：對(duì)于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；(Ⅱ)見(jiàn)證明；（Ⅲ）見(jiàn)證明

【解析】

（Ⅰ）利用線面平行判定定理即可證明AB∥平面PCD．

（Ⅱ）法一：利用面面垂直的性質(zhì)即可證明AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CD，交PC于H，利用面面垂直的性質(zhì)可證DH⊥平面ABCD，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)可證DH⊥AD，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AD⊥平面PCD．

（Ⅲ）法一：假設(shè)存在棱BC上點(diǎn)F，使得MF∥PC，連接AC，取其中點(diǎn)N，有MN∥PC，即可證明MF與MN重合，即MF就是MC，由MC與PC相交，矛盾，即可問(wèn)題得證．法二：假設(shè)存在棱BC上點(diǎn)F，使得MF∥PC，顯然F與點(diǎn)C不同，可得P，M，F，C四點(diǎn)在同一個(gè)平面α中，即B∈FCα，A∈PMα，α就是點(diǎn)A，B，C確定的平面ABCD，且P∈α，這與P﹣ABCD為四棱錐矛盾，即可得解假設(shè)錯(cuò)誤，問(wèn)題得證．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>

平面

平面

所以平面

（Ⅱ）法一：

因?yàn)槠矫?/span>平面

平面平面

,平面

所以平面

法二：

在平面中過(guò)點(diǎn)作，交于

因?yàn)槠矫?/span>平面

平面平面

平面

所以平面

因?yàn)?/span>平面

所以

又，

所以平面

（Ⅲ）法一：

假設(shè)存在棱上點(diǎn)，使得

連接，取其中點(diǎn)

在中，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以

因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)只有一條直線和已知直線平行，所以與重合

所以點(diǎn)在線段上，所以是，的交點(diǎn)

即就是

而與相交，矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，問(wèn)題得證

法二：

假設(shè)存在棱上點(diǎn)，使得，顯然與點(diǎn)不同

所以四點(diǎn)在同一個(gè)平面中

所以 ，

所以 ，

所以就是點(diǎn)確定的平面 ，且

這與為四棱錐矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，問(wèn)題得證