Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=9×2^n-1，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=2log₂

an

3

+1，S_n是數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的通項公式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）令n=1，2可得a₂+a₁，a₃+a₂，從而可得公比q=

a3+a2

a2+a1

，求出a₁，利用等比數(shù)列的通項公式可求得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，

1

bnbn+1

，拆項后利用裂項相消法可求得S_n，從而可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，a₂+a₁=9×1①，
當n=2時，a₃+a₂=9×2，公比q=

a3+a2

a2+a1

=2，
由①得a₁（1+2）=9，
∴a₁=3，a_n=3•2^n-1；
（Ⅱ）b_n=2log₂

an

3

+1=2n-1，
則

1

bnbn-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．