Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案；
（Ⅱ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等價于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由此可求a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，．         …（1分）
因為f'（1）=0，f（1）=-2，…（2分）
所以切線方程為 y=-2．                                     …（3分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域為（0，+∞）．
當a＞0時，（x＞0），…（4分）
令f'（x）=0，即，所以或．          …（5分）
當，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                      …（6分）
當時，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合題意；
當時，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．      …（7分）
綜上可得 a≥1．                                            …（8分）
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等價于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（9分）
而，…（10分）
當a=0時，，此時g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；      …（11分）
當a≠0時，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因為x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點（0，1），對稱軸，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8．    …（12分）
綜上可得 0≤a≤8．                                        …（13分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．