Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

-2，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	6.5	3	2.17	2.05	2.005	2	2.005	2.02	2.04	2． 3	3	3.8	5.57	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在區(qū)間

 

上遞增；當(dāng)x=

 

時(shí)，y_最小=

 

．
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由表中數(shù)據(jù)即可得出函數(shù)的增區(qū)間以及函數(shù)取到最小值時(shí)的自變量的值及函數(shù)值；
（2）由定義法可直接證明函數(shù)f（x）=x+

4

x

-2（x＞0）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)；

解答： 解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(x)=x+

4

x

-2(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f(x)=x+

4

x

-2(x＞0)在區(qū)間（2，+∞）上遞增．
當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=2．…（6分）
（2）設(shè)x₁，x₂是（0，2）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

…（9分）
∵

0＜x1＜x2＜2

，
∴

x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0

，
∴

f(x1)-f(x2)＞0

，
即 f（x₁）＞f（x₂）所以f（x）在 （0，2）上是 減函數(shù)    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查列表法表示函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于函數(shù)中基本題，定義法證明單調(diào)性要注意表述的格式