Question

對(duì)一切正整數(shù)n，不等式bn+2b＜n+1恒成立，則b的范圍是

(-∞，

2

3

)

．

Answer 1

分析：由不等式bn+2b＜n+1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立可得b＜

n+1

n+2

對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，令f（n）=

n+1

n+2

，則由數(shù)列的單調(diào)性可得f（n+1）＞f（n）＞f(n-1)＞…f(1)=

2

3

，從而可得b＜f（1）可求

解答：解：因?yàn)椴坏仁絙n+2b＜n+1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
所以，b＜

n+1

n+2

對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
令f（n）=

n+1

n+2

，則f(n+1)-f(n+1)=

n+2

n+3

-

n+1

n+2

=

1

(n+2)(n+3)

＞0；
∴f（n+1）＞f（n）＞f(n-1)＞…f(1)=

2

3

，
∴b＜

2

3

故答案為：(-∞，

2

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了恒成立問(wèn)題與最值的相互轉(zhuǎn)化，要注意數(shù)列單調(diào)性在解題中的應(yīng)用．