Question

對(duì)一切正整數(shù)n，不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

恒成立，則B的范圍是

b＜

2

5

或b＞1

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性求出

n+1

n+2

的最小值，把不等式轉(zhuǎn)化為

b

1-b

＜

2

3

，求解分式不等式即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)f（x）=

x+1

x+2

=1-

1

n+2

在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以對(duì)一切正整數(shù)n，當(dāng)n=1時(shí)

n+1

n+2

有最小值

2

3

，
所以不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

等價(jià)于

b

1-b

＜

2

3

．
即

b

1-b

-

2

3

＜0，

3b-2+2b

3(1-b)

＜0，解得b＜

2

5

或b＞1．
故答案為b＜

2

5

或b＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等關(guān)系與不等式，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．