Question

【題目】已知函數(shù)，為常數(shù)，若當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)（其中）.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由于函數(shù)在上有三個(gè)極值點(diǎn)在上三個(gè)實(shí)數(shù)根,令在有兩個(gè)不為1的且不相等的實(shí)數(shù)根,然后利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點(diǎn)問題來解決即可.

(2)由(1)可得出結(jié)果令,表示出,用綜合分析法借助導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明.

(1)由,為常數(shù),得,

由于函數(shù)在上有三個(gè)極值點(diǎn),得在上三個(gè)實(shí)數(shù)根,

當(dāng)=1時(shí),成立,所以令,得在有兩個(gè)不為1的且不相等的實(shí)數(shù)根,令,, 在上,兩個(gè)函數(shù)圖像如圖所示:

當(dāng),,圖像相切時(shí)設(shè)切點(diǎn)為M(),由,

,解得即得坐標(biāo)M(1,1),即得,

由圖像可知:N,所以,

當(dāng)在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),,的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn),所以得，此時(shí)，，

即得的取值范圍為:.

(2) 由(1)得在有兩個(gè)實(shí)數(shù)根即得,

且,即得,

要證,即

由得

設(shè),,,∴,

聯(lián)立,得:,∴, ∴要證,只需,

則有:,即,則需證明

令,即需證明

因?yàn)?/span>恒成立,

所以在,上是單調(diào)遞減函數(shù),則有

即成立,所以,即得以證明.