【題目】已知函數(shù)f(x)=ln+ax﹣1(a≠0).
(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)已知g(x)+xf(x)=﹣x,若函數(shù)g(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),求證:g(x1)<0.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
試題
(Ⅰ)由題意分類討論可得
a>0時,函數(shù)的單調減區(qū)間是,單調增區(qū)間是;
a<0,函數(shù)單調遞減;
(Ⅱ)由題意可得,結合導函數(shù)與原函數(shù)的性質和二次函數(shù)的性質進行討論即可證得題中的結論.
試題解析:
(I)解:f(x)=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1,定義域是(0,+∞)
∴f′(x)=.
a>0時,令f′(x)=0,得x=,0<x<,f′(x)<0,x>,f′(x)>0,
∴函數(shù)的單調減區(qū)間是(0,),單調增區(qū)間是(,+∞);
a<0,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù)單調遞減;
(Ⅱ)證明:已知g(x)+xf(x)=﹣x,則g(x)=xlnx﹣ax2,g′(x)=lnx﹣2ax+1,
∵函數(shù)g(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),
∴g′(x)在定義域上有兩個零點x1,x2(x1<x2),
∴x1,x2是lnx﹣2ax+1=0的兩個根,
∴lnx1﹣2ax1+1=0,
∴g(x1)=,
∵g′(x)=lnx﹣2ax+1,
∴g″(x)=.
a<0時,g″(x)>0恒成立,∴g′(x)在(0,+∞)內單調遞增,∴g′(x)至多一個零點;
a>0時,令g″(x)=0得x=,0<x<,g″(x)>0,x>,g″(x)<0,
∴g′(x)max=g′()=ln=﹣ln2a>0,
∴0<a<且0<x1<<x2,
∵g(x1)=,拋物線開口向上,對稱軸為x=,
∴g(x1)<0.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程與直線的極坐標方程;
(2)若射線與曲線交于點(不同于原點),與直線交于點,直線與極軸所在直線交于點.求的值.
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【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識,高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環(huán)保知識競賽.
(1)設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;
(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預防霧霾出一份力.為此,很多城市實施了機動車車尾號限行,我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機抽查了人,將調查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
()完成被調查人員的頻率分布直方圖.
()若從年齡在,的被調查者中各隨機選取人進行追蹤調查,求恰有人不贊成的概率.
()在在條件下,再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計),如圖所示,已知,(單位:米),要求圓M與分別相切于點B,D,圓與分別相切于點C,D.
(1)若,求圓的半徑;(結果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當多大時,總造價最低?最低總造價是多少?(結果分別精確到0.1°和0.1千元)
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【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結論,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖1是某斜拉式大橋圖片,為了了解橋的一些結構情況,學校數(shù)學興趣小組將大橋的結構進行了簡化,取其部分可抽象成圖2所示的模型,其中橋塔、與橋面垂直,通過測量得知,,當為中點時,.
(1)求的長;
(2)試問在線段的何處時,達到最大.
圖1 |
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