Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求的最大值；

（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱為的“伴隨函數(shù)”.已知函數(shù)，.若在區(qū)間上，函數(shù)是的“伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得出最大值；

（2）問題等價于對恒成立，

且對恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立可得參數(shù)取值范圍；

（3）把，變形為（令），求出的最小值后解相應(yīng)不等式（關(guān)于的不等式），可得結(jié)論．

解：（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，令，解得.

列表如下：

		0
	↑	極大值	↓

所以，當(dāng)時取得極大值，也即是最大值.

所以的最大值是

（2）在區(qū)間上，函數(shù)是的“伴隨函數(shù)”，則，令對恒成立，

且對恒成立，

（*）

①若，令，得極值點(diǎn)，當(dāng)，即時，在上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；當(dāng)，即時，在上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，也不合題意；

②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；要使在此區(qū)間上恒成立，只需滿足，所以.

又因?yàn)?/span>在上是減函數(shù).，所以.

綜合可知的取值范圍是.

（3）當(dāng)時，.因?yàn)?/span>，

所以.

令，則，

令則令解得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得極大值即最大值，所以，

解得