Question

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長(zhǎng)軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”．過(guò)橢圓第四象限內(nèi)一點(diǎn)M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，稱點(diǎn)N為點(diǎn)M的“下輔助點(diǎn)”．已知橢圓上的點(diǎn)的下輔助點(diǎn)為（1，﹣1）．

（1）求橢圓E的方程；

（2）若△OMN的面積等于，求下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）已知直線l：x﹣my﹣t＝0與橢圓E交于不同的A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P，使得四邊形OAPB是對(duì)邊平行且相等的四邊形．求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小時(shí)的m2+t2的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）（，） 或（，）；（3）3．

【解析】

（1）由橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)和輔助圓x2+y2＝a2過(guò)的坐標(biāo)，代入可得a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）設(shè)N的坐標(biāo)和M的坐標(biāo)，代入橢圓和輔助圓求出N，M的坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出△OMN的面積S△OMNx0（y1﹣y0），則x0y1和，y12＝1，聯(lián)立求出下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）設(shè)A，B的坐標(biāo)將直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)樗倪呅?/span>OAPB是對(duì)邊平行且相等，即四邊形OAPB恰好為平行四邊形，所以．所以三角形OAB面積為，當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，t2＝1時(shí)取等號(hào)，進(jìn)而可得m2+t2的值為3．

（1）因?yàn)闄E圓E：1，過(guò)點(diǎn)（1，），輔助圓x2+y2＝a2過(guò)（1，1），所以可得a2＝12+（﹣1）2＝2，

所以橢圓的實(shí)半軸長(zhǎng)的平方a2＝2，

所以1，解得：b2＝1，

∴橢圓E的方程為：y2＝1；

（2）設(shè)點(diǎn)N（x0，y0），（y0＜0），則由題意可得點(diǎn)M（x0，y1），（y1＜0），將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得，x02+y02＝2，y12＝1，

故y02＝2y12，即y0，

又S△OMNx0（y1﹣y0），則x0y1

聯(lián)立，可解得或，∴下輔助點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（，） 或（，）；

（3）由題意可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，

則△＝8（m2+2﹣t2）＞0．

根據(jù)韋達(dá)定理得，

因?yàn)樗倪呅?/span>OAPB是對(duì)邊平行且相等，即四邊形OAPB恰好為平行四邊形，

所以．所以，

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E 上，所以，

整理得，即4t2＝m2+2，

在直線l：x﹣my﹣t＝0中，由于直線l與坐標(biāo)軸圍成三角形，則t≠0，m≠0．

令x＝0，得，令y＝0，得x＝t．

所以三角形OAB面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，t2＝1時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)△＝24＞0．且有m2+t2＝3，

故所求m2+t2 的值為3．