Question

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先證明與平面中的一條線平行，再應(yīng)用線面平行的判定定理即可證得結(jié)果；

（Ⅱ）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由此可推出為點(diǎn)到平面的距離，然后通過解直角三角形求解即可.

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

在中，，分別是，的中點(diǎn)，

所以且，

又且，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

故平面.

（Ⅱ）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

由，，，

得平面，所以平面平面，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，

由知，點(diǎn)到平面的距離等于，

設(shè)，則由知，，，

又，所以平面，

所以，

又，，所以，

所以，又，

，則，

，

即，解得，

在中，，，，

可得，

設(shè)直線與平面所成角為，則，

即直線與平面所成角的正弦值為.