Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：a1=b1=1，a5=b3 ， 且S3=9．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求 + +…+ 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

S3=a1+a2+a3=9．即a2=3，

d=a2﹣a1=2，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n﹣1，

a5=b3=9，即q2=9，

∵bn＞0，

∴q=3，

∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=3n﹣1

（2）解：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn= =n2，

Sn+n=n2+n=n（n+1），

∴ = = ﹣ ，

+ +…+ =（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ），

=1﹣ ，

= ．

+ +…+ = ．

【解析】（1）由S3=9．可求得a2=3，d=a2﹣a1=2，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得an ， a5=b3 ， 求得q2=9，數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，即可求得q=3，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得bn；（2）首先求得Sn+1=n2+n=n（n+1）， = ，采用“裂項(xiàng)法“求得 = ﹣ ，代入整理即可求得 + +…+ 的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．