Question

【題目】已知函數(shù) （其中a為非零實(shí)數(shù)），且方程 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根（且該實(shí)數(shù)根非零），

所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，

解得a=2（此時(shí)實(shí)數(shù)根非零）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數(shù)解析式 ，

任取0＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

=

= ，

∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．