Question

已知函數f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²-2ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=|x|-2ln|x|
D．f（x）=|x|-ln|x|

Answer 1

【答案】分析：根據函數f（x）的圖象關于y軸對稱，可得函數f（x）是偶函數．再根據函數在（ 0，+∞）上的單調性，判斷各個選項的正確性，從而得到答案．
解答：解：由函數f（x）的圖象關于y軸對稱，可得函數f（x）是偶函數．
當 x＞0 時，根據函數圖象可知函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上是增函數．
對選項A：f（x）=x² -2ln|x|=x² -2lnx，f′（x）=2x-2•，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上是增函數，符合要求，故正確．
對選項B：f（x）=x²-ln|x|=x² -lnx，f′（x）=2x-在（0，1）上可以為正數，也可能為負數，
故函數在（0，1）上沒有單調性，不符合要求，故不正確．
對于現象C：f（x）=|x|-2ln|x|=x-2lnx，f′（x）=1-，在（1，+∞）上可以為正數，也可能為負數，
故函數在（1，+∞）上沒有單調性，不符合要求，故不正確．
對選項D：f（x））=|x|-ln|x|=x-lnx，f′（x）=1-，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上是增函數，符合要求．
但當x＞1時，它的增長速度應小于函數y=x的增長速度，這與所給的圖象不相符合，故D不正確．
故選B．
點評：本題主要考查了識圖能力，以及函數的對稱性和單調性，數形結合的思想，屬于基礎題．