Question

【題目】是自然對數的底數，，已知函數，.

（1）若函數有零點，求實數的取值范圍；

（2）對于，證明:當時，.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）函數有零點等價于對應方程有實數解，進而分離參數，并通過構造函數，結合求導，利用函數的單調性來確定其最值，從而得以確定參數的范圍；（2）通過所要證明的不等式的等價轉化，轉化為兩個不等式問題，通過分類討論分別加以證明，構造函數并求導，結合函數的單調性與最值來證明與轉化．

（1）由函數有零點知，方程有實數解，因為，所以．設，，

則的取值范圍轉化為函數在上的值域．

因為，所以當，時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞減，

故函數在時，取得最大值，

又上，，所以函數在上的值域為，．當時，，

所以函數在上的值域為，.

從而函數有零點時，實數的取值范圍為，

（2）可以轉化為證明兩個不等式①，②.

設，所以，

當時，，函數在上單調遞減，當時，

，函數在上單調遞增．故函數在時，取得最小值

，所以．

得證①

設，有，當時，．函數在上單調遞減；當時，函數，在上單調遞增．

故函數在時，取得最小值．

所以，得．（僅當時取等號）

又由為增函數，得②.

合并①②得證．