Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出實(shí)數(shù)根，通過列表即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），令f′（x）=0得出極值點(diǎn)，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值．
解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x-x²f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln2＞0
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）		（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，ln2）
（2）f（x）=（x-1）e^x-kx²，x∈[0，k]，．
f'（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k）f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），，
所以φ（k）在上是減函數(shù)，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1-ln2≤φ（k）＜＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	-		+
f（x）	↘	極小值	↗

f（0）=-1，f（k）=（k-1）e^k-k³f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k³-1）=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）[e^k-（k²+k+1）]
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124315745703613/SYS201310251243157457036020_DA/6.png">，所以k-1≤0
對(duì)任意的，y=e^x的圖象恒在y=k²+k+1下方，所以e^k-（k²+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）e^k-k³.
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值得方法是解題的關(guān)鍵．