Question

【題目】函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A.

(1) 求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2) 若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n都是正數(shù)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2，－1)；（2）8.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出A的坐標(biāo)，

（2）將出A的坐標(biāo)代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．

試題解析：

(1) ∵ 僅當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的函數(shù)值與a無(wú)關(guān)，且此時(shí)y＝－1，

∴ 定點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－2，－1)．

(2) 將點(diǎn)A(－2，－1)的坐標(biāo)代入mx＋ny＋1＝0，

得(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，2m＋n＝1，

∵ m，n>0，∴＋＝ (2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝，n＝時(shí)成立．

故當(dāng)m＝，n＝時(shí)，＋取最小值為8.