Question

6．已知函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$．
（I）若a＞b＞1，試比較f（a）與f（b）的大小；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x+m，且g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小；
（2）先確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再結(jié)合圖象，將問題等價為g（x）_min＞0或g（x）_max＜0，最后解不等式．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
再判斷函數(shù)的單調(diào)性，∵f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[1+$\frac{2}{x-1}$]，
因為函數(shù)u（x）=$\frac{2}{x-1}$在區(qū)間（-∞，-1）和（1，+∞）都是減函數(shù)，
所以，f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函數(shù)，
∵a＞b＞1，根據(jù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)得，
∴f（a）＞f（b）；
（2）由（1）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)g（x）=f（x）-$（\frac{1}{2}）^{x}$+m在[3，4]單調(diào)遞增，
∵g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，
∴g（x）_min＞0或g（x）_max＜0，
而g（x）_min=g（3）=-$\frac{9}{8}$+m＞0，解得m＞$\frac{9}{8}$，
g（x）_max=g（4）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$-$\frac{1}{16}$+m＜0，解得m＜$\frac{1}{16}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$，
因此，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{16}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$）∪（$\frac{9}{8}$，+∞）．

點評 本題主要考查了對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性的應用，以及函數(shù)零點的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．