Question

數(shù)列{a_n}與{b_n}的前n項(xiàng)和分別是A_n和B_n，且b_n=n•a_n，2An=Bn+

n

2n+1

 (n∈N)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是從第三項(xiàng)起的等比數(shù)列；
（2）當(dāng)數(shù)列{a_n}是從第一項(xiàng)起的等比數(shù)列時(shí)，用n的式子表示B_n；
（3）在（2）的條件下，對(duì)于給定的自然數(shù)k，當(dāng)n＞k時(shí)，

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，且M∈（-1000，-100），試求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)n≥3時(shí)，由a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(

1

2

)n+1，即{a_n}從第三項(xiàng)起成等比．
（2）若{a_n}從第一項(xiàng)起成等比，那么由a1=

1

4

，q=

1

2

，求得 A_n和B_n．
（3）根據(jù)

(n-k)an-k

Bn+k-1

=

(n-k)•22k

-(n+k+2)

 及

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，可得 M=-2^2k，再由2^2k∈（100，1000），求出k．

解答：解：（1）證明：a1=

1

4

，當(dāng)n≥3時(shí)，根據(jù)a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(

1

2

)n+1，即{a_n}從第三項(xiàng)起成等比．
（2）若{a_n}從第一項(xiàng)起成等比，那么由a1=

1

4

，q=

1

2

，得a2=

1

8

，an=

1

4

(

1

2

)n-1，An=

1

2

-

1

2n+1

，
故 Bn=1-

n+2

2n+1

．
（3）∵

(n-k)an-k

Bn+k-1

=

(n-k)•22k

-(n+k+2)

，又∵

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，∴M=-2^2k，
由已知M∈（-1000，-100），∴2^2k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列極限的方法，求出M=-2^2k，是解題的難點(diǎn)．