Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，又在等比數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b₂S₂=16，且當(dāng)n≥2時，有ban=4ban-1成立，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

6bn

b 2 n -1

，證明：c1+c2+…+cn≤

4

5

(9-

8

2n

)．

Answer 1

分析：（1）由已知，構(gòu)造出方程2q•（2+d）=16和q^d=4，解得公差和公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得答案．
（2）由（1）中結(jié)論，求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，用放縮法即可得證．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d∈N，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則∵a₁=1，b₁=2，b₂S₂=16，當(dāng)n≥2時，有ban=4ban-1成立，
∴2q•（2+d）=16…①
q^d=4…②
解得q=d=2
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ，
（2）∵cn=

6bn

b 2 n -1

=

6•2n

22n-1

＜

6•2n

22n-1

=

6

2n-1

∴c₁+c₂+…+c_n≤6(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=6×

1 20 •(1- 1 2n )

1- 1 2

=3(1-

1

2n

)
又由n∈N^*，則0＜1-

1

2n

＜1，
所以3(1-

1

2n

)＜

32

5

(1-

1

2n

)＜

4

5

+

32

5

(1-

1

2n

)=(

36

5

-

32

5

•

1

2n

)=

4

5

(9-

8

2n

)
∴c1+c2+…+cn≤

4

5

(9-

8

2n

)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．考查分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，是難題．