已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=
anbn4
,求證數(shù)列{cn}的前n和Rn<4;
(III)設(shè)cn=an+(-1)nlog2bn,求數(shù)列{cn}的前2n和R2n
分析:(I)由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,知a1=S1=2+2=4,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,由此能求出an.由數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn,知當(dāng)n=1時,T1=b1=2-b1,解得b1=1.當(dāng)n>1時,Tn=2-bn,Tn-1=2-bn-1,故Tn-Tn-1=bn=bn-1-bn,2bn=bn-1,由此能求出bn
(II)由cn=
anbn
4
=n•(
1
2
)
n-1
,知數(shù)列{cn}的前n和:Rn=c1+c2+c3+…+cn=1•(
1
2
0+2×(
1
2
1+3×(
1
2
2+…+(n-1)•(
1
2
n-2+n•(
1
2
n-1,由錯位相減法能夠證明Rn=4-2(n+2)(
1
2
)n<4

( III)由cn=an+(-1)nlog2bn=4n+(-1)nlog2(
1
2
)
n-1
=4n+(-1)n(1-n),能求出數(shù)列{cn}的前2n和.
解答:解:(I)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,
∴a1=S1=2+2=4,
an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,
當(dāng)n=1時,4n=4=a1,
∴an=4n.
∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn,
∴當(dāng)n=1時,T1=b1=2-b1,解得b1=1.
當(dāng)n>1時,Tn=2-bn,Tn-1=2-bn-1,
∴Tn-Tn-1=bn=bn-1-bn,∴2bn=bn-1,
bn
bn-1
=
1
2
,
∴數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列,
bn=(
1
2
)n-1
,n∈N*
(II)∵cn=
anbn
4
=n•(
1
2
)
n-1
,
∴數(shù)列{cn}的前n和:
Rn=c1+c2+c3+…+cn
=1•(
1
2
0+2×(
1
2
1+3×(
1
2
2+…+(n-1)•(
1
2
n-2+n•(
1
2
n-1,①
1
2
Rn =1•(
1
2
1+2×(
1
2
2+3×(
1
2
3+…+(n-1)•(
1
2
n-1+n•(
1
2
n,②
①-②,得
1
2
R
n
=1+
1
2
+(
1
2
2+(
1
2
3+…+(
1
2
n-1-n•(
1
2
n
1
2
R
n
=
1×[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-n•(
1
2
n
=2-(
1
2
)
n+1
-n•(
1
2
n,
Rn=4-2(n+2)(
1
2
)n<4

( III)∵cn=an+(-1)nlog2bn
=4n+(-1)nlog2(
1
2
)
n-1

=4n+(-1)n(1-n),
∴數(shù)列{cn}的前2n和
R2n=[4×1+(-1)1(1-1)]+[4×2+(-1)2(1-2)]+[4×3+(-1)3(1-3)]+…+[4×2n+(-1)2n(1-2n)]
=4(1+2+3+…+2n)+[0-1+2-3+…+(2n-2)-(2n-1)]
=4×
2n(1+2n)
2
-n
=8n2+3n.
∴R2n=8n2+3n.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意迭代法、錯位相減法、分組求和法的靈活運(yùn)用.
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