Question

以（0，m）間的整數(shù)（m＞1，m∈N）為分子，以m為分母組成分?jǐn)?shù)集合A₁，其所有元素和為a₁；以（0，m²）間的整數(shù)（m＞1，m∈N）為分子，以m²為分母組成不屬于集合A₁的分?jǐn)?shù)集合A₂，其所有元素和為a₂；…，依此類推以（0，mⁿ）間的整數(shù)（m＞1，m∈N）為分子，以mⁿ為分母組成不屬于A₁，A₂，…，A_n-1的分?jǐn)?shù)集合A_n，其所有元素和為a_n；則
（1）a₁=

 

；
（2）a₁+a₂+…+a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意寫出即可；
（2）寫出a₂，a₃總結(jié)規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

，
（2）又a₂=

1

m2

+

2

m2

+…+

m-1

m2

+

m+1

m2

+…+

2m-1

m2

+

2m+1

m2

+…+

m2-1

m2

=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-（

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

）=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-a₁，
a₃=

1

m3

+

2

m3

+…+

m3-1

m3

-a₁-a₂，
a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

-a₁-a₂-…-a_n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

=

1

mn

（1+2+…+mⁿ-1）=

mn-1

2

．
故答案為（1）

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

，（2）

mn-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生新概念題的閱讀能力及歸納思想的運(yùn)用能力，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，屬中檔題．