Question

【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)、.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）利用函數(shù)與方程的思想將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)利用分類討論的方法求解出參數(shù)的取值范圍；

（2）采用分析法證明，推導(dǎo)出證明即可，然后構(gòu)造新函數(shù)，分析的單調(diào)性和值域即可完成證明.

（1）因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的根，

所以有兩個(gè)不同的根，所以有兩個(gè)不同的根，

設(shè)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，又，

當(dāng)時(shí)，，所以僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

且，當(dāng)時(shí)，，

所以存在使得，存在使得，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，令，則，

若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上遞增，在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，，故至多僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；

若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，所以至多僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

若，，所以在上單調(diào)遞減，在上遞增，在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，，故至多僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意.

綜上可知：；

（2）設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為且，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

要證，只需證，只需證，

又因?yàn)?/span>，所以且在上單調(diào)遞減且，

故只需證，只需證（*）；

設(shè)，

所以，

所以，

所以，

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以，所以（*）成立，

所以原不等式成立即成立.