選修4-1：幾何證明選講
已知圓O直徑AB=4，將線段AB延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使BP=1．作直線PT切圓O于點(diǎn)T．
（1）求線段PT的長(zhǎng)；
（2）求線段AT的長(zhǎng)．
分析：（1）由切割線定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到線段PT的長(zhǎng)；
（2）連接TB，得∠ATB=90°，得到AT2+BT2=AB2=16…①．由切線的性質(zhì)證出△TPB∽△APT，計(jì)算出AT=
5
TB…②，兩式聯(lián)解即可算出線段AT的長(zhǎng)．
解答：解：（1）由切割線定理，可得PT2=PB•PA，
∵BP=1，直徑AB=4，可得AP=5
∴PT2=PB•PA=5，可得PT=
5
（舍負(fù)）．…（5分）
（2）連接TB，由AB是圓的直徑，可得∠ATB=90°，
∴AT2+BT2=AB2=16…①，
∵直線PT切圓O于點(diǎn)T，∴∠PTB=∠PAT，
∵∠TPB=∠APT，∴△TPB∽△APT，可得
AT
TB
=
PT
PB
=
5
，
解得AT=
5
TB…②，
聯(lián)解①②，可得AT=
2
30
3
．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的一條切線和一條直徑，求證線段的長(zhǎng)度．著重考查了圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，HB=2．
（1）求DE的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，若PC=2
5
，求PD的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)D引割線交⊙O于B，C兩點(diǎn)，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過(guò)圓上O的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交圓O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證：AE2=EF•BE．

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