Question

已知函數f（x）=mx-（2m-1）lnx+n．
（Ⅰ）若f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，求實數m、n的值；
（Ⅱ）當m＞0時，討論f（x）的單調性；
（Ⅲ）當m=1時，f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）上恰有一個零點，求實數n的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理,變化的快慢與變化率

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，結合已知得方程組

f′(1)=1-m=1 f(1)=m+n=1

，求解方程組得m，n的值；
（Ⅱ）求出函數的導函數，分0＜m≤

1

2

和m＞

1

2

討論函數的單調性；
（Ⅲ）把m=1代入函數解析式，由（Ⅱ）中的函數單調性求得f（x）的最小值，通過比較得到f(

1

e

)＜f(e)，然后把f（x）在區(qū)間(

1

e

，e)上恰有一個零點轉化為
f（1）=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，由此求得n的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=mx-（2m-1）lnx+n，得
f′(x)=m-

2m-1

x

=

mx-(2m-1)

x

，依題意有

f′(1)=1-m=1 f(1)=m+n=1

，
解得：

m=0 n=1

；
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），
由f′(x)=m-

2m-1

x

=

mx-(2m-1)

x

=

m[x- (2m-1) m ]

x

，
①當0＜m≤

1

2

時，恒有f'（x）＞0，故f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當m＞

1

2

時，f′(x)=

m[x- (2m-1) m ]

x

，
令f'（x）=0，得x=

2m-1

m

＞0，f（x）及f'（x）的值變化情況如下表：

x	(0， 2m-1 m )	2m-1 m	( 2m-1 m ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

故f（x）的單調遞減區(qū)間為(0，

2m-1

m

)，單調遞增區(qū)間為(

2m-1

m

，+∞)；
（Ⅲ）當m=1時，f（x）=x-lnx+n，
由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）為減函數，在（1，+∞）為增函數，
∴f（x）的最小值為f（1）=1+n．
∵f(

1

e

)=

1

e

+1+n，f（e）=e-1+n，
∴f(

1

e

)-f(e)=

1

e

+1-e+1=2+

1

e

-e＜0，
即：f(

1

e

)＜f(e)．
∵f（x）在區(qū)間(

1

e

，e)上恰有一個零點，
∴f（1）=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，
即：1+b=0或

e-1+n＞0 1 e +1+n≤0

．
解得：n=-1或1-e＜n≤-1-

1

e

．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了函數零點的判定方法，體現了數學轉化思想方法，是壓軸題．