Question

（2007•湛江二模）下列四個函數(shù)：
①f(x)=

1

x3

；
②f（x）=2^x；
③f(x)=

x2-3(x＞0) 0(x=0) -x2+3 (x＜0)

；
④f(x)=

x3

3

-x．
其中為奇函數(shù)的是

①③④（2分）

；在（1，+∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)是

②③④．（3分）

（分別填寫所有滿足條件的函數(shù)序號）

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)和和函數(shù)的單調(diào)性的定義分別判斷即可．

解答：解：①函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(-x)=

1

-x3

=-

1

x3

=-f(x)，所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
②函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)f（x）=2^x，為非奇非偶函數(shù)．此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
③函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0，f（-x）=-x²+3=-（x²-3）=-f（x），
當(dāng)x＜0時，f（-x）=x²-3=-（-x²+3）=-f（x），綜上恒有f（-x）=-f（x），所以函數(shù)為奇函數(shù)．在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
④函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(-x)=

-x3

3

+x=-(

x3

3

-x)=-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=x²-1，當(dāng)x＞1時，f'（x）=x²-1＞0，所以函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故答案為：①③④；②③④．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，要求熟練掌握相關(guān)的定義．