已知曲線C1：
x2
4
+
y2
4λ
=1和曲線C2：
x2
4λ
+
y2
4λ2
=1（0＜λ＜1）．曲線C2的左頂點(diǎn)恰為曲線C1的左焦點(diǎn)．
（1）求λ的值；
（2）設(shè)P（x0，y0）為曲線C2上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交曲線C1于A，C兩點(diǎn)，直線OP交曲線C1于B，D兩點(diǎn)，若P為AC中點(diǎn)．
①求證：直線AC的方程為x0x+2y0y=2；
②四邊形ABCD的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用曲線C2的左頂點(diǎn)恰為曲線C1的左焦點(diǎn)，可得
4λ
=
4-4λ
，從而可求λ的值；
（2）①先求出AC的斜率，可得AC的方程，從而可得結(jié)論；
②AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出|AC|，再求出B，D到直線AC的距離，即可得出結(jié)論．
解答： （1）解：∵曲線C2的左頂點(diǎn)恰為曲線C1的左焦點(diǎn)，
∴
4λ
=
4-4λ
，
∴λ=
1
2
；
（2）①證明：由題意，B（
2
x0，
2
y0），D（-
2
x0，-
2
y0），
∴kOP•kAC=-
4λ
4
=-
1
2
，
∴kAC=-
x0
2y0
，
∴AC的方程為y-y0=-
x0
2y0
（x-x0），即x0x+2y0y=2，
y0=0時(shí)，x0=±
2
滿足x0x+2y0y=2；
②解：AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，可得(1+
x02
2y02
)x2-
2x0
y02
x+
2
y02
-4=0，即2x2-4x0x+4-8y2=0，
∴|AC|=
1+
x02
4y02
|xA-xC|=
1+
x02
4y02
8y02
，
B，D到直線AC的距離d1=
2
2
-2
x02+4y02
，d2=
2
2
+2
x02+4y02

∴S=
1
2
|AC|（d1+d2）=
1
2
1+
x02
4y02
8y02
•（
2
2
-2
x02+4y02
+
2
2
+2
x02+4y02
）=4
當(dāng)y0=0時(shí)，ABCD的面積也為4，
∴四邊形ABCD的面積為定值4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上不與頂點(diǎn)重合，過(guò)F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為A，若|OA|=b，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

實(shí)數(shù)x，y滿足
x≥2
x-2y+4≥0
2x-y-4≤0
，若z=kx+y的最大值為13，則實(shí)數(shù)k=（　�。�
A、2
B、
13
2
C、
9
4
D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．試問(wèn)；是否存在使S△POS•S△POR最大的點(diǎn)P，若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)F，B，A三點(diǎn)的圓的圓心為（p，q）．
（1）當(dāng)p+q≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）若D（b+1，0），在（1）的條件下，當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí)，（
MF
+
OD
）.
MO
的最小值為
7
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

“開(kāi)門(mén)大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲益智節(jié)目．選手面對(duì)1-4號(hào)4扇大門(mén)，依次按響門(mén)上的門(mén)鈴，門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．正確回答每一扇門(mén)后，選手可自由選擇帶著獎(jiǎng)金離開(kāi)比賽，還可繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門(mén)以獲得更多獎(jiǎng)金（獎(jiǎng)金金額累加），但是一旦回答錯(cuò)誤，獎(jiǎng)金將清零，選手也會(huì)離開(kāi)比賽．在一次場(chǎng)外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對(duì)歌曲名稱(chēng)與否人數(shù)如圖所示． 
每扇門(mén)對(duì)應(yīng)的夢(mèng)想基金：（單位：元）
第一扇門(mén) 第二扇門(mén) 第三扇門(mén) 第四扇門(mén)
1000 2000 3000 5000
（Ⅰ）寫(xiě)出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱(chēng)與否與年齡有關(guān)？說(shuō)明你的理由．（下面的臨界值表供參考）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（Ⅱ）若某選手能正確回答第一、二、三、四扇門(mén)的概率分別為
4
5
，
3
4
，
2
3
，
1
3
，正確回答一個(gè)問(wèn)題后，選擇繼續(xù)回答下一個(gè)問(wèn)題的概率是
1
2
，且各個(gè)問(wèn)題回答正確與否互不影響．設(shè)該選手所獲夢(mèng)想基金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線x+y-1=0經(jīng)過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）斜率為k，且過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，求證直線BD過(guò)頂點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a4=7，且a2、a5、a14成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）求a1+a4+a7+…+a3n-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)x，y滿足約束條件
x+2y≥2
ex-y≥0
0≤x≤2
，則M（x，y）所在平面區(qū)域的面積為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案