Question

“開門大吉”是某電視臺推出的游戲益智節(jié)目．選手面對1-4號4扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．正確回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著獎金離開比賽，還可繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多獎金（獎金金額累加），但是一旦回答錯誤，獎金將清零，選手也會離開比賽．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否人數(shù)如圖所示． 
每扇門對應(yīng)的夢想基金：（單位：元）

第一扇門	第二扇門	第三扇門	第四扇門
1000	2000	3000	5000

（Ⅰ）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)？說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）若某選手能正確回答第一、二、三、四扇門的概率分別為

4

5

，

3

4

，

2

3

，

1

3

，正確回答一個問題后，選擇繼續(xù)回答下一個問題的概率是

1

2

，且各個問題回答正確與否互不影響．設(shè)該選手所獲夢想基金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，代入求觀測值的公式，求出這組數(shù)據(jù)的觀測值，把觀測值同臨界值表中的臨界值進(jìn)行比較，得到結(jié)論；
（Ⅱ）確定ξ的所有能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，

	正確	錯誤	合計
20～30（歲）	10	30	40
30～40（歲）	10	70	80
合計	20	100	120

…（2分）
根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)代入觀測值的公式得到k²=

120×(10×70-10×30)2

20×100×40×80

=3
∵3＞2.706…（3分）
∴有1-0.10=90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)．…（4分）
（Ⅱ）ξ的所有能取值分別為：0，1000，3000，6000，11000
則P(ξ=1000)=

4

5

×

1

2

=

2

5

…（5分）
P(ξ=3000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

=

3

20

…（6分）
P(ξ=6000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

20

…（7分）
P(ξ=11000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1

3

=

1

60

…（8分）
P(ξ=0)=1-

2

5

-

3

20

-

1

20

-

1

60

=

23

60

…（9分）
ξ的分布列為

ξ	0	1000	3000	6000	11000
P	23 60	2 5	3 20	1 20	1 60

…（10分）
ξ數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×

23

60

+1000×

2

5

+3000×

3

20

+6000×

1

20

+11000×

1

60

=1333.33…（12分）

點評：本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查分布列及數(shù)學(xué)期望．本題解題的關(guān)鍵是學(xué)會讀圖和畫圖，在所給的二維條形圖中能夠看出所需要的數(shù)據(jù)．