正三棱錐V—ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，過底面AB邊的截面交側(cè)棱VC于P．

(1)若P為VC的中點，求截面PAB的面積；

(2)求截面PAB的面積的最大值．

 

答案：
解析：

解：(1)∵四面體V—ABC為正三棱錐，

∴V在平面ABC上的射影O為△ABC的中心．連結(jié)OC并延長CO交AB于D，連結(jié)DP，則有CD⊥AB．由VO⊥面ABC．

∴AB⊥面VOC，∴AB⊥DP．

在Rt△VOC中，可求OC=．

cosPCO=OC∶VC=∶3=．

由P為VC的中點，根據(jù)余弦定理得

PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCO

=()2＋(·2)2-2··（·2）·cosPCO=．

S△PAB=·AB·PD=．

(2)由(1)知，VC上任一點P與AB的中點D的連線都是△APB的高，設PC=x(0<x<3)．

∴PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCD

=x2＋3-2·x··=x2-x＋3．

∴S△APB=AB·PD

=≤．

∴(S△APB)max=．

點評：對正棱錐的問題，應充分利用正棱錐的性質(zhì)．求截面ABP面積的最小值，也可直接求D到VC的距離，作△ABP的高DP，此時△ABP的面積最小．

 


練習冊系列答案
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B、6
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3
2
13
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3
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16
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16
3
π
．

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3
，則該三棱錐的左視圖的面積為
6
6
．

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