Question

已知函數f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期為π，將其圖象向左平移

π

8

個單位得到函數．f（x）=

2

sinωx的圖象．
（I）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）求函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）利用函數的周期求出ω，圖象的平移求出φ，求出函數的解析式，利用函數的單調區(qū)間．求出函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）確定函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的單調性．然后求出函數的最小值和最大值

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期為π，所以ω=

2π

π

=2，
故函數f（x）=

2

sin（2x+φ）將其圖象向左平移

π

8

個單位得到函數．
得到f（x）=

2

sin[2（x+

π

8

）+φ]=

2

sin（2x+

π

4

+φ）=

2

sin2x的圖象，
所以

π

4

+φ=0，φ=-

π

4

，
所以函數f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ   k∈Z 
所以-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ  k∈Z．
所以函數的單調增區(qū)間為：[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）因為函數f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為單調增函數，
在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數，
又f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=

2

，f（

3π

4

）=

2

sin（

3π

2

-

π

4

）=-

2

sin

π

4

=-1．
故函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值為-1，最大值為

2

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數的單調區(qū)間的應用，函數最值的求法，考查計算能力．