Question

【題目】有限數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

①對(duì)于任意的（），；

②對(duì)于任意的（），，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)．[來

（1）若，且，，，，求的值；

（2）證明：不可能是數(shù)列中的項(xiàng)；

（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最大值為

【解析】

（1）由①，得．

由②，當(dāng)，，時(shí)．,,中至少有一個(gè)是數(shù)列，，，中的項(xiàng)，但，，故，解得．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意．

（2）假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng)，由②可知：6，10，15中至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則有限數(shù)列的最后一項(xiàng)，且．

由①，．

對(duì)于數(shù)，由②可知：；對(duì)于數(shù)，由②可知：． 6分

所以，這與①矛盾．

所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

（3）的最大值為，證明如下：

（1）令，則符合①、②．

（2）設(shè)符合①、②，則：

（ⅰ）中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1．

假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1，不妨設(shè)，，，是中絕對(duì)值最大的四項(xiàng)，其中．

則對(duì)，，有，，故，均不是數(shù)列中的項(xiàng)，即是數(shù)列中的項(xiàng)．

同理：也是數(shù)列中的項(xiàng)．

但，．

所以．

所以，這與①矛盾．

（ⅱ）中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1．

假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1，類似（ⅰ）得出矛盾．

（ⅲ）中至多有兩項(xiàng)絕對(duì)值等于1．

（ⅳ）中至多有一項(xiàng)等于0．

綜合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9項(xiàng)．

14分

由（1），（2）可得，的最大值為9．