Question

如圖，已知圓C：x²+y²+10x+10y=0，點A（0，6）．
（1）求圓心在直線y=x上，經過點A，且與圓C相切的圓N的方程；
（2）若過點A的直線m與圓C交于P，Q兩點，且圓弧PQ恰為圓C周長的

1

4

，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓心在直線y=x上，設出圓心N（a，a）（a＞0），根據(jù)圓C與圓N相切，得到點為切點，表示出半徑，進而寫出圓的標準方程，將A坐標代入求出a的值，即可確定出圓N方程；
（2）將圓C方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑，顯然直線x=0滿足題意；由對稱性得到圓心C到直線PQ距離為5，設出直線PQ方程，利用點到直線的距離公式求出k的值，確定出此時直線m方程，綜上，得到所有滿足題意直線m的方程．

解答：解：（1）由圓心N在直線y=x上，故設圓心N（a，a）（a＞0），
由圓N與圓C相切，根據(jù)題意得到切點為原點O，可得半徑為

2

a，
圓N方程為（x-a）²+（y-a）²=2a²，
將A（0，6）代入得：a²+（6-a）²=2a²，即-12a+36=0，
解得：a=3，
則圓N方程為（x-3）²+（y-3）²=18；
（2）由圓C方程x²+y²+10x+10y=0，變形得：（x+5）²+（y+5）²=50，
∴圓心C（-5，-5），半徑為5

2

，
由CD⊥P′Q′，得到CD=5，D為P′Q′中點，
令圓C方程中x=0，得到y(tǒng)=0或y=10，即P′Q′=10，P′D=Q′D=5，
∵y=x的傾斜角為45°，即∠CP′D=45°，
∴△CDP′為等腰直角三角形，同理△CDQ′為等腰直角三角形，
∵圓弧PQ恰為圓C周長的

1

4

，
∴CP′⊥CQ′，滿足題意，此時直線m方程為直線x=0；
由對稱性得到CB⊥PQ，且CB=5，
設直線m解析式為y-6=k（x-0），即kx-y+6=0，
∴

|-5k+5+6|

k2+1

=5，
整理得：（5k-11）²=25（k²+1），即25k²-110k+121=25k²+25，
移項合并得：110k=96，
解得：k=

48

55

，
此時直線m方程為48x-55y+330=0，
綜上，直線m解析式為x=0或48x-55y+330=0，．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，弄清題意是解本題的關鍵．