Question

如圖，已知圓C：x²+y²=2與x軸交于A₁、A₂兩點(diǎn)，橢圓E以線(xiàn)段A₁A₂為長(zhǎng)軸，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C上異于A₁、A₂的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交直線(xiàn)x=-2于點(diǎn)Q，判斷直線(xiàn)PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出a再利用離心率e=

2

2

求出c即可求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出k_OP和k_PQ的表達(dá)式，利用點(diǎn)P在圓上，可以得直線(xiàn)PQ與圓C保持相切．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=

2

，e=

2

2

，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)PQ與圓C保持相切（6分）
證明：設(shè)P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直線(xiàn)OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x（9分）
所以點(diǎn)Q（-2，

2x0+2

y0

）（11分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

（13分）
又kOP=

y0

x0

，所以k_OP⊥k_PQ=-1，
即OP⊥PQ，故直線(xiàn)PQ始終與圓C相切（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓和橢圓的綜合考查．在做這一類(lèi)型題目時(shí)，一定要畫(huà)出圖象，利用圖象來(lái)分析問(wèn)題．