(2009•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓C:x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A.由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k,且k為有理數(shù).射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B.
(1)當(dāng)r=1時(shí),試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r=1時(shí),試證明:點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn);(說(shuō)明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道,一個(gè)有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時(shí),是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡(jiǎn)述你的理由.
分析:(1)當(dāng)r=1時(shí),可知A點(diǎn)坐標(biāo),就可設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程,代入圓方程,解出B點(diǎn)坐標(biāo).
(2)由(1)中求出的用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo),來(lái)判斷,當(dāng)k為有理數(shù)時(shí),點(diǎn)B是否為有理點(diǎn),當(dāng)B為有理點(diǎn)時(shí),k是否為有理數(shù),證明中用到一個(gè)有理數(shù)可以表示為
q
p
,即若一個(gè)數(shù)是有理數(shù),則這個(gè)數(shù)一定可以表示成
q
p
的形式,若一個(gè)數(shù)可以表示成
q
p
的形式,則這個(gè)數(shù)一定為有理數(shù).
(3)先假設(shè)當(dāng)0<k<1時(shí),能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成.由(2)中結(jié)論,可找到此雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距,都用含p,q,r的式子表示,其中,p,q,r均為整數(shù),且p,q互質(zhì).據(jù)此求出k值,看是否為整數(shù),若是,則假設(shè)成立,若不是,則假設(shè)不成立.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(x2,y2).由題意,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),于是可設(shè)射線l的方程
為y=k(x+1),代入圓C的方程可得:x2+k2(x+1)2=1?(1+k2)x2+2k2x+(k2-1)=0.①
方程①中,一個(gè)解必為x=-1,則由根與系數(shù)關(guān)系可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x2=
1-k2
1+k2
;代入直線方程可得y2=
2k
1+k2
.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)即為(
1-k2
1+k2
2k
1+k2
)

(2)充分性:設(shè)射線l的斜率k=
q
p
(其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)),則由(1)可知x2=
1-(
q
p
)
2
1+(
q
p
)
2
=
p2-q2
p2+q2
,y2=
2(
q
p
)
1+(
q
p
)
2
=
2pq
p2+q2
.因?yàn)閜、q均為整數(shù),所以x2、y2必為一個(gè)有理數(shù),從而B點(diǎn)必為一個(gè)有理點(diǎn).
必要性:若B點(diǎn)為有理點(diǎn),則可設(shè)x2=
q1
p1
y2=
q2
p2
(其中p1、q1、p2、q2均為整數(shù)且p1和q1互質(zhì)、p2和q2互質(zhì))于是,k=
y2
x2+1
=
q2
p2
p1
p1+q1
,因?yàn)閜1、q1、p2、q2均為整數(shù),所以k必為一個(gè)有理數(shù).
(3)設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2).當(dāng)0<k<1時(shí),B點(diǎn)必定落在第一象限的四分之一圓周上,即x2>0,y2>0.而由x22+y22=r2,所以B的橫坐標(biāo)x2、縱坐標(biāo)y2以及圓的半徑r必能構(gòu)成某個(gè)雙曲線的一組實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的數(shù)據(jù).由(2)結(jié)論可知,此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為
x2=
|p2-q2
p2+q2
•r
y2=
2pq
p2+q2
•r
其中p、q此時(shí)均為正整數(shù)且p、q互質(zhì).
于是,只要構(gòu)造圓半徑r=(p2+q2)•m(其中m為正整數(shù))時(shí),則會(huì)有x2=|p2-q2|•m,y2=2pq•m,它們都為正整數(shù),且滿足x22+y22=r2
因此,對(duì)于斜率為k=
q
p
(其中p、q均為整數(shù),p>q>0且p、q互質(zhì))的斜線l,只需確定圓的半徑滿足r=(p2+q2)•m(其中m為正整數(shù)),則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線”滿足題意.
特別地,因?yàn)楫?dāng)x2=y2時(shí),點(diǎn)B坐標(biāo)必為(
2
2
r,
2
2
r)
,而此時(shí)射線l的斜率為k=
y2
x2+r
=
2
-1
,不是有理數(shù).∴構(gòu)造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線,即由x2≠y2,可構(gòu)造的“整勾股雙曲線”的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)可由
a=x2
b=y2
c=r 
a=y2
b=x2
c=r 
構(gòu)成,且個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系、沖要條件的證明,以及理解能力、推理能力,解題時(shí)要認(rèn)真理解題意,仔細(xì)運(yùn)算,本題有較大的思維量和運(yùn)算量
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3
x
-1
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lim
n→∞
2n2+1
1+3+5+…+(2n-1)
=
2
2

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x2
9
+
y2
4
=1
的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)P在橢圓上,且|
PF1
+
PF2
|=2
5
,則向量
PF1
與向量
PF2
的夾角的大小為
90°
90°

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