Question

如果對于任意x、y∈R都有sinx+cosy=f（x）+f（y）+g（x）-g（y），求：
（1）函數f（x）的解析式
（2）g（0）=-

1

2

，求函數g（X）的解析式．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x=y，代入方程可得函數f（x）的解析式
（2）由g（0）=-

1

2

，可得f（0）+f（y）+g（0）-g（y）=0+cosy，結合（1）中結論，可得函數g（x）的解析式．

解答： 解：（1）令x=y，代入方程得f（x）+f（x）+g（x）-g（x）=sinx+cosx，
∴f（x）=

1

2

（sinx+cosx），
（2）g（0）=-

1

2

，
f（0）+f（y）+g（0）-g（y）=0+cosy，

1

2

+

1

2

（siny+cosy）+

1

2

-g（y）=cosy，
g（y）=1+

1

2

siny-

1

2

cosy，
∴g（x）=1+

1

2

sinx-

1

2

cosx．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數解析式的求解，難度中檔．