已知雙曲線
x2
9
-
y2
b
=1，過其右焦點F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，且
|MF|
|PQ|
=
5
6
，則該雙曲線的離心率為（　　）
A、
6
5
B、
8
5
C、
5
4
D、
5
3
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：依題意，不妨設(shè)過其右焦點F的直線的斜率為1，利用弦長公式可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點M的橫坐標(biāo)，從而使問題解決．
解答： 解：∵雙曲線
x2
9
-
y2
b
=1，
∴其右焦點F（c，0），不妨設(shè)過其右焦點F的直線的斜率為1，
依題意，直線PQ的方程為：y=x-c．
代入雙曲線方程，得：（b-9）x2+18cx+9c2-9b=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1，x2為方程（b-9）x2+18cx+9c2-9b=0的兩根，
∴x1+x2=-
18c
b-9
，y1+y2=（x1+c）+（x2+c）=x1+x2-2c=
2bc
9-b
，
又x1x2=
9c2-9b
b-9
，則弦長|PQ|=
1+1
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
(
18c
b-9
)2-
36c2-36b
b-9
①
∴線段PQ的中點N（
9c
9-b
，
bc
9-b
），
∴PQ的垂直平分線方程為y-
bc
9-b
=-（x-
9c
9-b
），
令y=0得：x=
9c+bc
9-b
．又右焦點F（c，0），
∴|MF|=|c-
9c+bc
9-b
|=|
2bc
9-b
|．②
由于
|MF|
|PQ|
=
5
6
，則由①②解得，
c
b
=
5
16
，
又c2=9+b，解得，c=5，
則雙曲線的離心率e=
c
a
=
5
3
．
故選D．
點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的相交問題，考查韋達定理的應(yīng)用與直線方程的求法，綜合性強，具有一定的運算量．
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若f（2x+1）的定義域為[1，4]，則f（x）的定義域為
 
．

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π
4
）+
2
，x∈[0，
π
2
]，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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如果對于任意x、y∈R都有sinx+cosy=f（x）+f（y）+g（x）-g（y），求：
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（2）g（0）=-
1
2
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x2
4
+
y2
3
=1，拋物線x2=4y從左到右分別交于P1、P2、P3、P4四點，則|P1P2|+|P3P4|=
 
．

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已知
m
，
n
是空間兩個單位向量，且
m
•
n
＞0，設(shè)向量
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+2
n
，且＜
b
，
a
＞=
2π
3
，則＜
m
，
n
＞為
 
．

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已知數(shù)列{an}滿足Sn=
n(a1+an)
2
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an
2n-1
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已知tan（
π
4
+α）=2，則sinαcosα+cos2α=
 
．

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函數(shù)f（x）=
x2+1
+
x2-6x+10
的性質(zhì)：
①f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數(shù)f（x）的值域為[
13
，+∞）；
④方程f（f（x））=1+
10
有兩個解，上述關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)說法正確的是（　�。�
A、①③B、③④C、②③D、②④

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