Question

【題目】在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)（左圖），將∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右圖），則二面角A﹣BD﹣C的余弦值為（ ）

A.﹣
B.
C.﹣
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：過A作AE⊥BD，在原圖延長(zhǎng)角BC與F，過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長(zhǎng)線于M，

∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)，
AB= ，BD= AC，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BD⊥AE，BD⊥EF，
∴∠AEF為二面角A﹣BD﹣C的平面角，
過A作AO⊥面BCD，垂足為O，
∵面AEF⊥面BCD，
∴O在EF上，
理解BO交CD延長(zhǎng)線于M，
當(dāng)AB⊥CD時(shí)，由三垂線定理的逆定理可知：MB⊥CM，
∴O為翻折之前的三角形ABD的中心，
∴OE= AE，
cos∠AEO= ，
∴cos∠AEF= ，
故選：A