Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或．（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）先化簡不等式：，再確定其對(duì)于恒成立，而函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，因此其等價(jià)于解一元二次不等式組得的取值范圍；（2）因?yàn)?/span>，所以先確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：分兩類：一類導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變，即當(dāng)時(shí)，或時(shí)，第二類：導(dǎo)函數(shù)符號(hào)有變化：且時(shí)，或時(shí)，再確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)

試題解析：（1），，

令，要使，則使即可，而是關(guān)于的一次函數(shù)，

∴解得或．

所以的取值范圍是或．

（2）令，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上遞增，無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，．

①當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上遞增，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程的兩個(gè)根為，（不妨設(shè)），

因?yàn)?/span>，所以，，由，∴，

所以當(dāng)，，函數(shù)遞增；

當(dāng)，，函數(shù)遞減；

當(dāng)，，函數(shù)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，由，可得，

所以當(dāng)，，函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減；因此函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．