對(duì)于三次函數(shù),定義的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”,可以證明,任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”,任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心,請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題:

①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:

②存在三次函數(shù)有實(shí)數(shù)解,點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心;

③存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對(duì)稱中心;

④若函數(shù),則,

其中正確命題的序號(hào)為                  (把所有正確命題的序號(hào)都填上).

 

【答案】

①②④

【解析】

試題分析:∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),∴f′(x)=3ax2+2bx+c,f''(x)=6ax+2b,

∵f(x)=6a×(-)+2b=0,∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)(-,f(-))對(duì)稱,即①正確;

∵任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心,

∴存在三次函數(shù)f′(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,點(diǎn)(x0,f(x0))為y=f(x)的對(duì)稱中心,即②正確;

任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對(duì)稱中心,故③不正確;

,∴g′(x)=x2-x,g''(x)=2x-1,

令g''(x)=2x-1=0,得x=,∵g()=3-×()2-=-,

∴函數(shù)的對(duì)稱中心是(,-),

∴g(x)+(g(1-x)=-1,

,故④正確.

故答案為:①②④.

考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng):中檔題,本題綜合性較強(qiáng),研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是常用方法。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年山東猜題卷)對(duì)于三次函數(shù)。

定義:(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”;

定義:(2)設(shè)為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù),都有成立,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。

己知,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)

(2)檢驗(yàn)函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對(duì)稱,對(duì)于任意的三次函數(shù)寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論(不必證明)

(3)寫(xiě)出一個(gè)三次函數(shù),使得它的“拐點(diǎn)”是(不要過(guò)程)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于三次函數(shù),定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”,F(xiàn)已知,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo);

(2)求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A 對(duì)稱;并寫(xiě)出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論(此結(jié)論不要求證明).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆江蘇省高三10月質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

對(duì)于三次函數(shù),定義是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。有同學(xué)發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)既有拐點(diǎn),又有對(duì)稱中心,且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心。根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),對(duì)于函數(shù),則 的值為_(kāi)_________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆浙江省臺(tái)州市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

對(duì)于三次函數(shù),定義是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。有同學(xué)發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)既有拐點(diǎn),又有對(duì)稱中心,且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心。根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),對(duì)于函數(shù),

的值為    

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三11月練習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

對(duì)于三次函數(shù)

定義:(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”;

定義:(2)設(shè)為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù),都有成立,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

己知,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)

(2)檢驗(yàn)函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對(duì)稱,對(duì)于任意的三次函數(shù)寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論(不必證明)

(3)寫(xiě)出一個(gè)三次函數(shù),使得它的“拐點(diǎn)”是(不要過(guò)程)

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案