Question

經(jīng)過點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l交M于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)Q也在M上，且在A、B之間（不與A或B重合）．
（1）求M的軌跡方程及線段AB的長度|AB|．
（2）求△ABQ的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動圓圓心為（x，y），由直線與圓相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得軌跡M的方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得Q點(diǎn)與AB平行的切線的斜率為

1

2

x₀=1，求出Q的坐標(biāo)，即可求△ABQ的面積S的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），由題意動圓經(jīng)過定點(diǎn)F（0，1），且與定直線：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故軌跡M的方程為x²=4y．
直線l的方程為y=x+1，代入x²=4y，可得x²-4x-4=0，
∴|AB|=

2

•

42+4•4

=8．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
設(shè)Q（x₀，y₀），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得Q點(diǎn)與AB平行的切線的斜率為

1

2

x₀=1，
∴x₀=2，∴Q（2，1），
∴Q到AB的距離為

|2-1+1|

2

=

2

，
∴△ABQ的面積S的最大值為

1

2

•8•

2

=4

2

．

點(diǎn)評：本小題主要考查動點(diǎn)的軌跡和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力等．