Question

如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=

2

AB，B₁C₁∥BC且B1C1=

1

2

BC，二面角A₁-AB-C是直二面角
（1）求證：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）求證：AB₁∥平面A₁C₁C．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得AB⊥AC，又因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁，從而得到AB⊥平面AA₁C，再證AB∥A₁B₁，可得A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）取BC中點D，連接AD，B₁D，C₁D．證明四邊形B₁C₁DB是平行四邊形，可得C₁D∥B₁B，進而可證AD∥平面A₁C₁C；同理，B₁D∥平面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得平面ADB ₁∥平面A₁C₁C，從而可得AB₁∥平面A₁C₁C

解答： 證明：（1）因為AB=AC，BC=

2

AB
所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC．
又因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB⊥AA₁．
又因為AA₁∩AC=A，所以AB⊥平面AA₁C．
因為四邊形A₁ABB₁是正方形，所以AB∥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C
（2）取BC的中點D，連接AD，B₁D，C₁D
因為B₁C₁∥BC且B1C1=

1

2

BC
所以B₁C₁DB是平行四邊形，故C₁D₁∥B₁B，且C₁D₁=B₁B
又A₁A∥B₁B且A₁A=B₁B，所以A₁A∥C₁D，且A₁A=C₁D
所以A₁ADC₁是平行四邊形
所以A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C
同理B₁D∥平面A₁C₁C
又因為B₁D∩AD=D，所以平面ADB₁∥平面A₁C₁C
所以AB₁∥平面A₁C₁C

點評：本題考查線面平行、線面垂直，掌握線面平行、線面垂直的判定方法是關鍵．