Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，能否在橢圓上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 假設(shè)在橢圓上找到一點(diǎn)M（m，n），使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)．求得橢圓的焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線方程，由點(diǎn)到直線的距離和焦半徑公式可得（m+4）²=（2+$\frac{1}{2}$m）（2-$\frac{1}{2}$m），解方程可得m，再由橢圓的范圍即可判斷．

解答 解：假設(shè)在橢圓上找到一點(diǎn)M（m，n），
使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)．
橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，e=$\frac{1}{2}$，
設(shè)左、右焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），左準(zhǔn)線為x=-4，
點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離為d=m+4，|MF₁|=2+$\frac{1}{2}$m，|MF₂|=2-$\frac{1}{2}$m，
由假設(shè)可得d²=|MF₁|•|MF₂|，
即（m+4）²=（2+$\frac{1}{2}$m）（2-$\frac{1}{2}$m），
即為5m²+32m+48=0，
解得m=-4或m=-$\frac{12}{5}$．
由橢圓的性質(zhì)可得|m|≤2，
則m=-4或m=-$\frac{12}{5}$不成立．
故不能在橢圓上找到一點(diǎn)M，
使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查存在性問題的解法，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．