Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)y=f（x），有如下結(jié)論：
①f（x）在R上單調(diào)遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y=g（x）的圖象就是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1確定的曲線．
其中所有正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)x、y的正負(fù)去絕對(duì)值，將方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1化簡(jiǎn)，得到相應(yīng)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式，由此作出函數(shù)的圖象，再由圖象可知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且函數(shù)的值域?yàn)镽，所以①③成立；
根據(jù)F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x，再由函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的曲線以y=±

3

4

x為漸近線，得到f（x）=-

3

4

x沒有實(shí)數(shù)根，因此②正確．
根據(jù)曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程的公式，可得若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y=g（x）的圖象對(duì)應(yīng)的方程是

x|x|

16

+

y|y|

9

=1，說明④錯(cuò)誤．由此可得本題的答案．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)x≥0且y≥0時(shí)，方程為

x2

16

+

y2

9

=-1，此時(shí)方程不成立．
當(dāng)x＜0且y＜0時(shí)，方程為

x2

16

+

y2

9

=1，此時(shí)y=-3

1- x2 16

．
當(dāng)x≥0且y＜0時(shí)，方程為

x2

16

-

y2

9

=-1，此時(shí)y=-3

1+ x2 16

．
當(dāng)x＜0且y≥0時(shí)，方程為

x2

16

-

y2

9

=1，即y=3

x2 16 -1

．
因此作出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由圖象可知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以①成立．
對(duì)于②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．
因?yàn)殡p曲線

x2

16

-

y2

9

=-1和

x2

16

-

y2

9

=1的漸近線為y=±

3

4

x，
所以函數(shù)y=f（x）與直線y=-

3

4

x無公共點(diǎn)，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零點(diǎn)，可得②正確．
對(duì)于③，根據(jù)①所作的圖象可知函數(shù)的值域?yàn)镽，所以③正確．
對(duì)于④，若函數(shù)y=g（x）和y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則用-x、-y分別代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=g（x）表達(dá)式，可得g（x）=-f（-x），
則函數(shù)y=g（x）的圖象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1確確定的曲線，
而不是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1確確定的曲線，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假．著重考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)式的化簡(jiǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．