【題目】如圖所示，已知是正三角形，若平面，平面平面，且．

（1）求證：平面；

（2）若平面，求二面角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)知平面，可知，由線面平行判定可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，又平面，平面；

（2），，，，，

平面，，

，，是的中點(diǎn)，

，連結(jié)，則，平面，

，，四邊形是矩形，．

以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，，，

取平面的一個(gè)法向量為，

，

二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球?qū)ΨQ的.負(fù)電荷中心與原子核重合，但如兩個(gè)原子接近，則彼此能因靜電作用產(chǎn)生極化（正負(fù)電荷中心不重合），從而導(dǎo)致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用.今有兩個(gè)相同的惰性氣體原子，它們的原子核固定，原子核正電荷的電荷量為，這兩個(gè)相距為的惰性氣體原子組成體系的能量中有靜電相互作用能，其中為靜電常量，，分別表示兩個(gè)原子負(fù)電中心相對各自原子核的位移，且和都遠(yuǎn)小于，當(dāng)遠(yuǎn)小于1時(shí)，，則的近似值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥開發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有瓶溶液，其中瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)菌的溶液檢驗(yàn)出來，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次；

方案二：混合檢驗(yàn)，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶液全部不含有細(xì)菌；若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共為.

(1)假設(shè)，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；

(2)現(xiàn)對瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為.

若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

(i)若與的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式;

(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸．

（1）求橢圓的方程：

（2）已知直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為的大小是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長為2的等邊△ABC中，D，E分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如圖2的四棱錐A﹣BCDE，連結(jié)BD，CE，且BD與CE交于點(diǎn)H．

（1）證明：；

（2）設(shè)點(diǎn)B到平面AED的距離為h1，點(diǎn)E到平面ABD的距離為h2，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為、、、、、、、共8個(gè)等級。參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.

舉例說明.

某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級.而等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：

設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為，，求得.

四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.

（1）某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個(gè)選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.

（i）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績；

（ii）求物理原始分在區(qū)間的人數(shù)；

（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記表示這4人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（附：若隨機(jī)變量，則，，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若實(shí)數(shù)滿足，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．

（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．

① 若時(shí)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得既是的不動(dòng)點(diǎn)，又是 的不動(dòng)點(diǎn)（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

② 令，若存在實(shí)數(shù)，使，，， 成各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，求證：函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)．

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